Стівен Вайнберг - Пояснюючи світ

Отже, обчислюючи відношення видимої відстані вершини гори від термінатора до видимого радіуса Місяця, Ґалілей зумів обчислити відношення висоти гори до радіуса Місяця.

Рис. 18. Вимірювання Ґалілеєм висоти гір на Місяці. Горизонтальна лінія, позначена стрілкою, вказує на промінь світла, що торкається Місяця в точці T термінатора, де проходить межа між освітленою та неосвітленою частинами Місяця, а потім падає на вершину M гори висотою h, розташованої на відстані d від термінатора.

У «Зоряному віснику» Ґалілей повідомляв, що іноді бачив яскраві плями на неосвітленому боці Місяця на видимій відстані від термінатора, більшій за 1/20 видимого діаметра Місяця, тому для цих гір d/r > 1/10, а отже, за поданою вище формулою h/r > (1/10)2/2 = 1/200. Ґалілей оцінив радіус Місяця в 1 000 миль[72], тож ці гори мали б бути щонайменше 5 миль заввишки (з незрозумілих причин Ґалілей навів цифру в 4 милі, але оскільки він намагався лише встановити нижню межу висоти гір, то, імовірно, просто перестрахувався). Ґалілей вважав, що місячні гори вищі за будь-які гори на Землі, але тепер ми знаємо, що на Землі є гори заввишки майже 6 миль, тож спостереження Ґалілея показали, що за висотою місячні гори не дуже відрізняються від земних.

25. Гравітаційне прискорення

Ґалілей показав, що тіло, падаючи, зазнає рівномірного прискорення, тобто його швидкість зростає на одну й ту саму величину за кожен рівний проміжок часу. Говорячи сучасною мовою, тіло, що падає зі стану спокою, після часу t, який мине з моменту початку падіння, матиме швидкість υ, пропорційну t:

υ = gt,

де g – стала, що характеризує гравітаційне поле поблизу поверхні Землі. Хоч g дещо відрізняється в різних точках земної поверхні, вона ніколи сильно не відхиляється від значення 32 футів на секунду у квадраті, або 9,8 м/с2.

Згідно з теоремою про середній градус швидкості, відстань, яку подолає тіло, що падає зі стану спокою, за час t, дорівнює υсерt, де υсер – середнє арифметичне між gt та нулем; іншими словами, υсер = gt/2. Отже, пройдена відстань дорівнює:

Зокрема, за першу секунду тіло падає на відстань g (1 секунда)2/2 == 16 футів (4,9 м). Час, потрібний для падіння тіла на відстань d, у загальному випадку дорівнює:

Є й інший, сучасніший погляд на цей результат. Енергія тіла, що падає, дорівнює сумі його кінетичної та потенційної енергії. Кінетична енергія дорівнює:

де m – маса тіла. Потенційна енергія дорівнює добутку mg на висоту (виміряну відносно будь-якого вибраного рівня). Тому якщо тіло починає падіння зі стану спокою з початкової висоти h0 і проходить відстань d, то:

Eпот = mgh = mg(h0 – d).

Отже, оскільки d = gt2/2, загальна енергія є сталою величиною:

E = Eкін + Eпот = mgh0.

Ми можемо розвернути це навпаки й вивести співвідношення між швидкістю та пройденою відстанню, припускаючи збереження енергії. Якщо ми приймемо, що E дорівнює mgh0 в момент t = 0, коли υ = 0, а h = h0, то з огляду на збереження енергії в будь-який проміжок часу матимемо:

з чого випливає, що υ2/2 = gd. Оскільки υ – це швидкість збільшення d, це є диференціальним рівнянням, що визначає зв’язок між d і t. Звичайно, ми знаємо розв’язок цього рівняння: d = gt2/2, при чому υ = gt. Тому, використовуючи закон збереження енергії, ми можемо отримати такі самі результати, не знаючи наперед, що прискорення рівномірне.

Це є елементарним прикладом закону збереження енергії, що робить поняття енергії корисним у широкому різноманітті контекстів. Зокрема, закон збереження енергії демонструє важливість експериментів Ґалілея з кульками, що котилися донизу похилими площинами, для розв’язання задачі про вільне падіння, хоча сам Ґалілей цей аргумент не використовував. Для кульки масою m, що котиться донизу похилою площиною, кінетична енергія дорівнює mυ2/2, де υ – швидкість уздовж цієї площини, а потенційна енергія дорівнює mgh, де h – знову висота. На додачу там є ще енергія обертання кульки, яку можна виразити так:

Еоберт

де r – радіус кульки, ν (ню) – кількість повних обертів кульки на секунду, а ζ (дзета) – величина, що залежить від форми кульки та розподілу маси всередині неї. У випадку суцільної однорідної кульки, яку, ймовірно, використовував у своїх експериментах Ґалілей, ζ = 2/5 (для порожнистої кульки ζ = 2/3.) Коли кулька робить один повний оберт, вона проходить відстань, що дорівнює її окружності 2πr, тому за час t, за який вона робить νt обертів, вона проходить відстань d = 2πrνt, а отже, її швидкість дорівнює d/t = 2πνr. Використовуючи це у формулі для енергії обертання, отримаємо:

Еоберт

Поділивши це на m та на 1 + ζ, з огляду на закон збереження енергії отримаємо:

Це така сама залежність між швидкістю та пройденою відстанню d = h0 – h, що має бути збережена для тіла, що падає вільно, крім того, що g замінене на g/(1 + ζ). Не беручи до уваги цієї заміни, бачимо, що залежність швидкості кульки, що котиться донизу похилою площиною, від пройденої вертикальної відстані така сама, як і для тіла у вільному падінні. Отже, вивчаючи кульки, що котяться донизу похилими площинами, ми можемо довести, що тіла у вільному падінні рухаються з рівномірним прискоренням. Однак такий розрахунок не дає змоги виміряти прискорення, якщо тільки не брати до уваги множник 1/(1 + ζ).

Унаслідок складних доведень Гюйґенс зумів показати, що час, потрібний маятнику довжиною L для коливання під невеличким кутом з одного боку до іншого, дорівнює:

τ = π

Тобто Гюйгенс показав, що цей час дорівнює π, помноженому на час, потрібний для падіння тіла на відстань d = L/2.

26. Параболічні траєкторії

Припустімо, що якийсь предмет вистрілили горизонтально зі швидкістю υ. Нехтуючи опором повітря,