Стівен Вайнберг - Пояснюючи світ

до центральної осі, також фокусуватимуть лінзою, але в точці, трохи зміщеній відносно центральної осі. Щоб зрозуміти, наскільки вона зміщена, ми можемо уявити собі поворот шляху променя світла на рис. 16a навколо лінзи на кут γ. Тоді відстань d фокуса від центральної осі лінзи відноситиметься до окружності кола радіусом f, як γ до 360°:

а отже:

(Це працює лише для тонкої лінзи; інакше d також залежить від кута θ, поданого в технічній примітці 22.) Якщо промені світла від якогось далекого об’єкта падають на лінзу під кутами, значення яких лежать у межах діапазону Δγ (дельта гамма), вони фокусуватимуться на відрізку висотою Δd, заданою формулою:

(Як і зазвичай, ця формула простіша, якщо Δγ вимірюють у радіанах, що дорівнюють 360°/2π, а не у градусах; у цьому разі вона матиме вигляд Δd = fΔγ.) Цей відрізок сфокусованого світла називають уявним зображенням (див. рис. 17a).

Ми не можемо побачити уявного зображення, просто подивившись на нього, бо після утворення цього зображення промені світла розбігаються знову.

Щоб сфокусуватися в точці на сітківці розслабленого людського ока, промені світла мають увійти до кришталика ока в більш-менш паралельних напрямках. Телескоп Кеплера містив другу опуклу лінзу, яку називають окуляром, що давала змогу фокусувати промені світла, які розбігаються від уявного зображення так, щоб вони виходили з телескопа в паралельних напрямках. Міркуючи так само, але щодо променів світла зі зворотними напрямками, ми побачимо, що для того, щоб промені від якоїсь точки на джерелі світла виходили з телескопа в паралельних напрямках, окуляр має бути розташований на відстані f´ від уявного зображення, де f´ – фокусна відстань окуляра (див. рис. 17б). Тобто довжина телескопа L має дорівнювати сумі фокусних відстаней:

Діапазон Δγ´ напрямків променів світла, що входять до ока з різних точок на джерелі, пов’язаний із розміром уявного зображення за формулою:

Видимий розмір будь-якого об’єкта пропорційний куту, утвореному променями світла від об’єкта, тому збільшення, яке дає телескоп, дорівнює відношенню цього кута, під яким промені входять до ока, до кута, який вони охоплювали б, якби там не було телескопа:

Збільшення

Взявши співвідношення двох формул, яке ми вивели для розміру Δd уявного зображення, ми бачимо, що збільшення дорівнює:

Щоб отримати істотне збільшення, потрібно, щоб лінза в передній частині телескопа була значно слабша за окуляр, тобто f >> f´.

Цього не так легко досягти. Згідно з формулою фокусної відстані, поданій у технічній примітці 22, щоб отримати сильний скляний окуляр з короткою фокусною відстанню f´, необхідно, щоб його лінза мала невеликий радіус кривини. Це означає, що вона або має бути дуже маленька, або не бути тонка (тобто її товщина має бути значно менша за радіус кривини), у разі чого вона не зможе фокусувати світло достатньо добре. Ми ж можемо натомість зробити передню лінзу слабкою, з великою фокусною відстанню f, але в цьому разі довжина телескопа L = f + f´ = f має бути дуже велика, що незручно. Ґалілею знадобився деякий час, щоб вдосконалити свій телескоп та отримати збільшення, достатнє для астрономічних цілей.

Рис. 17. Телескопи: a) утворення уявного зображення. Дві суцільні лінії, позначені стрілками, – це промені світла, що входять до лінзи в напрямках, розділених невеликим кутом Δγ. Ці лінії (а також інші, паралельні до них) фокусуються на відстані f від лінзи на вертикальному відрізку довжиною Δd, пропорційною Δγ; б) лінзи в телескопі Кеплера. Лінії, позначені стрілками, вказують шляхи променів світла, що йдуть до слабкої випуклої лінзи від якогось віддаленого об’єкта по майже паралельних напрямках; фокусуються лінзою в точці на відстані f від лінзи; розбігаються від цієї точки, а потім заломлюються сильною опуклою лінзою так, щоб вони потрапляли до ока по паралельних напрямках

Ґалілей зробив свій телескоп дещо по-іншому, використавши увігнутий окуляр. Як ми згадували в технічній примітці 22, якщо розташувати увігнуту лінзу так, щоб промені світла, що входять до неї, збігалися в одну точку, то вони виходитимуть з неї в паралельних напрямках. Фокусна відстань – це відстань позаду лінзи, у якій збігалися б промені, якби лінзи не було. У телескопі Ґалілея була слабка опукла лінза спереду з фокусною відстанню f та сильна увігнута лінза з фокусною відстанню f´ позаду неї перед тим місцем, де було б уявне зображення, якби не було увігнутої лінзи. Збільшення, яке дає такий телескоп, і в цьому разі дорівнює співвідношенню f/f´, але його довжина дорівнює лише f − f´, замість f + f´.

24. Гори на Місяці

Світлий та темний боки Місяця розділяє лінія, що має назву термінатор, де сонячні промені проходять по дотичній до місячної поверхні. Коли Ґалілей спостерігав Місяць у телескоп, він помітив на темному боці Місяця поблизу термінатора яскраві плями, і потлумачив їх як світло, що відбивається від гір, достатньо високих, щоб спіймати сонячні промені, що надходять з іншого боку термінатора. Він зумів вирахувати висоту цих гір за допомогою геометричної побудови, аналогічній тій, яку використовував аль-Біруні, щоб вимірювати розмір Землі. Накреслімо трикутник, вершинами якого є центр Місяця C, вершина гори M на темному боці Місяця, що саме ловить промінь сонячного світла, а також точка T на термінаторі, де цей промінь торкається поверхні Місяця (див. рис. 18). Це буде прямокутний трикутник; відрізок TM лежатиме на дотичній до поверхні Місяця в точці T, тому він має бути перпендикулярний відрізку CT. Довжина CT дорівнює радіусу Місяця r, а довжина TM дорівнює відстані гори від термінатора d. Якщо гора має висоту h, тоді довжина CM (гіпотенуза трикутника) дорівнює r + h. Згідно з теоремою Піфагора, отримуємо:

(r + h)2 = r2 + d2,

а отже,

d2 = (r + h)2 − r2 = 2rh + h2.

Оскільки висота будь-якої гори на Місяці значно менша за розмір Місяця, ми можемо знехтувати h2 і враховувати лише 2rh. Ділення обох сторін