Стівен Вайнберг - Пояснюючи світ

зміна положення зірки на 1° вказує, що минув час, який дорівнює 1⁄360 доби, або 4 хвилинам.

Повернутися

48

Насправді це справедливо лише для коливань маятника під невеликими кутами, хоча Ґалілей цього уточнення не зробив. Фактично він говорить, що для коливань у 50° або 60° (градусів дуги) потрібен той самий час, що й для набагато менших коливань. Це дає зрозуміти, що він насправді не проводив тих експериментів із маятником, про які розповідає.

Повернутися

49

У буквальному сенсі це означало б, що якесь тіло, скинуте зі стану спокою, ніколи б не впало, бо з нульовою початковою швидкістю в кінці першої нескінченно малої миті воно не зрушило б із місця, а отже, зі швидкістю, пропорційною відстані, усе ще мало б нульову швидкість. Можливо, доктрина про те, що швидкість пропорційна пройденій відстані, була призначена для застосування лише після короткого початкового періоду прискорення.

Повернутися

50

Один з аргументів Ґалілея хибний, бо стосується середньої швидкості впродовж проміжку часу, а не швидкості, набутої наприкінці цього проміжку.

Повернутися

51

Це показано в технічній примітці 25. Як там пояснено, хоч Ґалілей цього й не знав, швидкість кулі, що котиться донизу площиною, не дорівнює швидкості тіла, що вільно впало б на таку саму відстань по вертикалі, бо частина енергії, виділеної вертикальним спуском, іде на обертання кулі. Але ці швидкості пропорційні, тому якісний висновок Ґалілея, що швидкість тіла, яке падає, пропорційна витраченому часу, не змінюється, якщо врахувати обертання кулі.

Повернутися

52

Декарт порівнював світло із твердою палицею, яка під час штовхання з одного кінця миттєво рухається з іншого. Щодо палиць він теж помилявся, хоч і з причин, яких він тоді не міг знати. Якщо штовхати палицю з одного кінця, на іншому нічого не відбувається, поки хвиля стискання (фактично звукова хвиля) не пройде від одного кінця палиці до іншого. Швидкість цієї хвилі зростає із твердістю палиці, але спеціальна теорія відносності Ейнштейна не дає нічому змоги бути ідеально твердим; жодна хвиля не може мати швидкість, вищу, ніж у світла. Використання Декартом такого порівняння розглянуто у статті Peter Galison, “Descartes Comparisons: From the Invisible to the Visible”, Isis 75, 311 (1984).

Повернутися

53

Згадайте, що синус кута – це довжина катета, протилежного цьому куту у прямокутному трикутнику, поділена на гіпотенузу трикутника. Він збільшується в міру збільшення кута від нуля до 90°, спочатку пропорційно куту, поки той невеликий, а потім повільныше.

Повернутися

54

Це роблять, шукаючи значення b/R, де нескінченно мала зміна b жодним чином не впливає на φ, тому за такого значення φ графік φ порівняно з b/R буде плоским. За такого значення b/R φ досягає свого максимального значення. (Будь-яка плавна крива на кшталт графіка φ порівняно з b/R, що досягає максимуму, а потім падає знову, на максимумі має бути плоскою. Точка, де така крива не є плоскою, не може бути максимумом, бо якщо крива в якійсь точці підіймається праворуч чи ліворуч, то праворуч чи ліворуч будуть точки, де крива є вищою.) Значення φ в діапазоні, де крива φ порівняно з b/R є майже плоскою, змінюються повільно, у міру того, як змінюється b/R, тому в цьому діапазоні відносно багато променів зі значеннями φ.

Повернутися

55

Коли йому було вже за п’ятдесят, Ньютон узяв на роботу економкою доньку своєї зведеної сестри красуню Кетрін Бертон, але хоч вони були близькими друзями, роману в них, схоже, не було. Вольтер, який опинився в Англії в той час, писав, що лікар Ньютона та «хірург, на руках якого він помер», підтвердили йому, що Ньютон ніколи не мав інтимних стосунків із жінкою (див. Voltaire, Philosophical Letters, Bobbs-Merrill Educational Publishing, Indianapolis, Ind., 1961, p. 63). Як лікар із хірургом могли про це знати, Вольтер не уточнював.

Повернутися

56

Це слова із промови «Ньютон, Людина», яку Кейнс збирався виголосити на зборах Лондонського королівського товариства в 1946 році. За три місяці до виступу Кейнс помер, і промову виголосив його брат.

Повернутися

57

Чималих зусиль Ньютон доклав також до проведення дослідів з алхімії. З таким самим успіхом її можна було назвати й хімією, бо між цими двома галузями в ті часи не було суттєвої різниці. Як ми вже згадували у зв’язку з доробком Джабіра ібн Гайяна в розділі 9, аж до кінця XVIII століття не було чіткої хімічної теорії, що відкидала б завдання алхімії, як-от перетворення основних металів на золото. Отже, хоч робота Ньютона з алхімії й не свідчить про відмову від науки, вона не привела ні до чого важливого.

Повернутися

58

Плаский шматочок скла не розділяє кольори, бо, хоч кожний колір заломлюється під трохи іншим кутом, коли входить у скло, вони всі заломлюються до свого первинного напрямку, виходячи з нього. Оскільки грані призми не паралельні, промені світла різного кольору, що відбиваються по-різному, входячи у скло, досягають поверхні призми, виходячи з неї під кутами, що не дорівнюють кутам заломлення під час входження. Тому, коли ці промені заломлюються, виходячи із призми, різні кольори все ще розділені невеличкими кутами.

Повернутися

59

Йдеться про натуральний логарифм 1 + x – степінь, до якої має бути піднесена стала e = 2,71828…, щоб дати результат 1 + x. Причиною для такого своєрідного визначення є те, що натуральний логарифм має деякі властивості, значно простіші, ніж у десяткового логарифма, у якому місце e посідає число 10. Наприклад, формула Ньютона демонструє, що натуральний логарифм 2 представлений рядом 1 − ½ + ⅓ − ¼ +…, тоді як формула десяткового логарифма 2 складніша.

Повернутися

60

Нехтування доданками 3to2 та o3 в цьому розрахунку може створити враження, що воно лише наближення, але це неправильно. У XIX столітті математики навчилися обходитись без доволі розпливчастої ідеї нескінченно малої величини o, а говорити натомість про точно визначені границі: швидкість – це число, до якого можна наблизити [D(t + o) − D(t)]/o так, як ми того захочемо, якщо взяти o достатньо малим. Як ми побачимо нижче, Ньютон пізніше перейшов від нескінченно малих величин до сучасної ідеї границь.

Повернутися

61

Три закони планетного руху Кеплера не були добре обґрунтовані до Ньютона, хоч перший із них – що кожна планетна орбіта є еліпсом із Сонцем в одному фокусі – був широко визнаний. Натомість до загального визнання всіх цих трьох законів привело саме виведення їх Ньютоном у його