Стівен Вайнберг - Пояснюючи світ

є в Сонячній системі, але за довші періоди часу v може змінюватися доволі помітно.) Коли якась далека планета рухається в наш бік або від нас, швидкість v є відповідно додатною або від’ємною й видимий період обертання її супутника відповідно зменшуватися або збільшуватися. Ми можемо виміряти T, спостерігаючи за планетою в момент часу, коли v = 0, а потім виміряти швидкість світла, спостерігаючи знову в момент часу, коли v має якесь відоме ненульове значення.

Це стало основою того, як Гюйґенс визначив швидкість світла, спираючись на спостереження Ремера щодо зміни видимого орбітального періоду супутника Юпітера Іо. Але з відомою швидкістю світла таке саме обчислення може дати нам відносну швидкість v якогось іншого далекого об’єкта. Зокрема, світлові хвилі певної лінії спектра далекої галактики коливатимуться з певним характерним періодом T, пов’язаним з її частотою ν (ню) та довжиною хвилі λ (лямбда) співвідношенням T = 1/ν = λ/c. Цей характерний період відомий зі спостереження спектрів у лабораторіях на Землі. На початку XX століття було виявлено, що спектральні лінії, спостережувані в дуже далеких галактиках, мають більшу довжину хвилі, а отже, довші періоди коливань, з чого ми можемо зробити висновок, що ці галактики віддаляються від нас.

32. Доцентрове прискорення

Прискорення – це величина зміни швидкості, але швидкість будь-якого тіла характеризується не лише абсолютною величиною, а й напрямком. Швидкість тіла, що рухається по колу, постійно змінює свій напрямок, завертаючи до центра кола, тому навіть за постійної абсолютної величини швидкості воно зазнає безперервного прискорення до центра, яке називають доцентровим прискоренням.

Рис. 24. Обчислення доцентрового прискорення. Угорі: вектори швидкості тіла, що рухається по колу, у два різні моменти часу, розділені коротким часовим проміжком Δt. Унизу: ці два вектори швидкості, зведені разом у трикутник, коротка сторона якого дорівнює зміні швидкості в цей часовий проміжок.

Обчислімо доцентрове прискорення якогось тіла, що рухається по колу радіусом r із постійною абсолютною величиною швидкості v. Упродовж короткого часового проміжку від t1 до t2 це тіло переміститься вздовж кола на невеличку відстань vΔt, де Δt (дельта t) дорівнює t2 − t1, а радіальний вектор (стрілка від центра кола до тіла) повернеться на невеликий кут Δθ (дельта тета). Вектор швидкості (стрілка з позначкою v, що вказує напрямок руху тіла) завжди спрямований по дотичній до кола, а отже, перпендикулярний до радіального вектора. Тому коли напрямок радіального вектора змінюється на кут Δθ, то напрямок вектора швидкості змінюватиметься на такий самий невеликий кут. Тож ми отримуємо два трикутники: один, сторонами якого є радіальні вектори в моменти часу t1 і t2, а також хорда, що з’єднує точки, у яких перебувало тіло в ці моменти часу; сторонами іншого трикутника є вектори швидкості в моменти часу t1 і t2, а також зміна швидкості Δv між цими двома моментами часу (див. рис. 24). Для невеличких кутів Δθ різниця в довжині між хордою та дугою, що з’єднує положення тіл у моменти часу t1 і t2, незначна, тому ми можемо взяти довжину хорди як vΔt.

Ми бачимо, що ці трикутники подібні (тобто вони відрізняються розміром, але не формою), бо вони обидва рівнобедрені (кожен має дві рівні сторони) з однаковим невеликим кутом Δθ між цими двома рівними сторонами. Тому співвідношення коротких та довгих сторін кожного трикутника має бути однакове. Тобто

а отже,

Це і є формула Гюйґенса для доцентрового прискорення.

33. Порівняння Місяця з тілом, що падає

За часів античності вчені припускали, що між явищами в небесах та на Землі є якась відмінність. Ньютон рішуче кинув виклик цьому припущенню, порівнюючи доцентрове прискорення Місяця на його орбіті з прискоренням донизу тіла, що падає, поблизу поверхні Землі.

З вимірювань добового паралакса за ньютонівських часів було точно відомо, що середня відстань Місяця від Землі в 60 разів більша за радіус Землі (фактичне співвідношення становить 60,27). Щоб обчислити радіус Землі, Ньютон взяв 1´ (мінуту дуги) на екваторі за милю довжиною в 5 000 футів (1 524 м), тож для повного кола 360°, де в одному градусі 60´, радіус Землі дорівнює:

м.

Насправді середній радіус Землі становить 6 371 000 м. Ця різниця стала найбільшим джерелом помилки в обчисленнях Ньютона. Було точно відомо, що орбітальний період Місяця (сидеричний місяць) становить 27,3 доби, або 2 360 000 секунд. Тоді швидкість Місяця на його орбіті становить:

м/с.

Це дає таке доцентрове прискорення:

м/с2.

Згідно із законом обернених квадратів, це число має дорівнювати прискоренню тіл, що падають, на поверхні Землі, 9,8 м/с2, поділеному на квадрат відношення радіуса орбіти Місяця до радіуса Землі:

Саме на це порівняння «спостережуваного» доцентрового прискорення Місяця в розмірі 0,0022 м/с2 зі значенням, отриманим із закону обернених квадратів 0,0027 м/с2, посилався Ньютон, коли казав, що ці значення «доволі близькі». Пізніше він отримав кращий результат.

34. Закон збереження імпульсу

Припустімо, два рухомі об’єкти з масами m1 та m2 зіштовхуються один з одним. Якщо в якийсь короткий часовий проміжок δt (дельта t) об’єкт 1 діє із силою F на об’єкт 2, то в цей часовий проміжок об’єкт 2 зазнаватиме прискорення a2, яке, згідно з другим законом Ньютона, відповідає співвідношенню m2a2 = F. Його швидкість v2 змінюватиметься при цьому на таку величину:

δv2 = a2 δt = F δt/m2.

Згідно із третім законом Ньютона, об’єкт 2 діятиме на об’єкт 1 із силою −F, рівною за величиною, але (що позначено знаком мінус) протилежною за напрямком, тому в той самий часовий проміжок швидкість v1 об’єкта 1 зміниться в напрямку, протилежному δv2, на величину:

δv1 = a1 δt = −F δt/m1.

Сумарна зміна загального імпульсу m1v1 + m2v2 дорівнює тоді:

m1δv1 + m2δv2= 0.

Звичайно, два об’єкти можуть контактувати впродовж тривалішого періоду, протягом якого сила може не бути постійною, але оскільки загальний імпульс зберігається в кожен короткий проміжок часу, він зберігатиметься впродовж усього періоду контакту.

35. Маси планет

За часів Ньютона було відомо, що супутники є в чотирьох тіл у Сонячній системі: свої Місяці мають Юпітер, Сатурн і Земля, а всі