Стівен Вайнберг - Пояснюючи світ

б до першого порядку δi та δr.

Рис. 21. Шлях заломлюваного променя світла. Горизонтальна лінія позначає поверхню, що розділяє два прозорі середовища А і B, у яких світло має різні швидкості vA та vB, а кути i та r вимірюють між променем світла та пунктирною вертикальною лінією, перпендикулярною до поверхні, що розділяє середовища. Суцільна лінія зі стрілками позначає шлях променя світла, що рухається від точки PА в середовищі А до точки P на межі середовищ, а потім до точки PB у середовищі B.

Щоб задовольнити цю умову, нам потрібні стандартні формули диференціального числення для зміни δtgθ (тета) та δ(1/cosθ), коли ми змінюємо кут θ на нескінченно малу величину δθ:

де R = 360°/2π = 57,293…°, якщо θ вимірюють у градусах (цей кут розміром в 1 радіан. Якщо θ вимірюють в радіанах, тоді R = 1). Використовуючи ці формули, ми знаходимо зміни L і t, коли змінюємо кути i та r на нескінченно малі величини δi та δr:

Визнана нами умова, що δL = 0, говорить, що:

тому

Щоб цей вираз дорівнював нулю, потрібно, щоб

або, інакше кажучи,

де показник заломлення n є співвідношенням швидкостей, заданим незалежно від кутів:

n = vА/vB.

Це і є істинним законом заломлення світла з правильною формулою для n.

29. Теорія райдуги

Припустімо, що промінь світла потрапляє до сферичної дощової краплини в якійсь точці P, утворюючи кут i з перпендикуляром до поверхні краплини в цій точці. Якби там не відбувалося заломлення, цей промінь світла продовжив би рухатися по прямій крізь краплину. У такому разі відрізок від центра краплини C до точки Q максимального наближення променя до центра утворив би прямий кут із променем світла, тому трикутник PCQ був би прямокутним із гіпотенузою, що дорівнює радіусу R краплі, та кутом у точці P, що дорівнює i (див. рис. 22a). Нехай прицільний параметр b буде відстанню максимального наближення незаломленого променя до центра, тобто довжиною сторони трикутника CQ, заданою за правилами елементарної тригонометрії:

b = R sini.

Ми можемо однаково добре схарактеризувати окремі промені світла за відношенням b/R, як це робив Декарт, або ж за значенням кута падіння i.

Насправді ж через заломлення промінь входитиме до краплі під кутом r до перпендикуляра до поверхні, заданим законом заломлення:

де n = 4/3 є відношенням швидкості світла в повітрі до його швидкості у воді. Промінь пройде крізь краплю й досягне її задньої поверхні у точці P´. Оскільки відстані від центра краплі C до точок P та до P´ однакові й дорівнюють радіусу R краплі, то трикутник із вершинами C, P та P´ рівнобедрений, тому кути між променем світла та перпендикулярами до поверхні краплі в точках P та P´ рівні й обидва дорівнюють r. Частина світла відбиватиметься від задньої поверхні краплі, і, за законом відбиття, кут між відбитим променем та перпендикуляром до поверхні в точці P´ також дорівнюватиме r. Відбитий промінь перетинатиме краплю й ударятиме в її передню поверхню в точці P´´, знову утворюючи кут r з перпендикуляром до поверхні в P´´. Частина світла тоді виходитиме з краплини, і, за законом заломлення, кут між променем, що виходить, та перпендикуляром до поверхні в P´´ дорівнюватиме первинному куту падіння i (див. рис. 22б, що демонструє шлях променя світла у площині, на якій лежать сам промінь, центр краплі та спостерігача. Лише ті промені, що стикаються з поверхнею краплини там, де вона перетинає цю площину, мають шанс досягти спостерігача).

Під час усіх цих відбиттів промінь світла відхилятиметься до центра краплі на кут i – r двічі – входячи до краплини й виходячи з неї, а також на кут 180° − 2r, відбиваючись від задньої поверхні краплі, а отже, загальний кут відхилення променя становить:

2(i − r) + 180° − 2r = 180° − 4r + 2i.

Якби промінь світла відбивався від краплини назад у напрямі, протилежному напряму входу (тобто у випадку, коли i = r = 0), то цей кут дорівнював би 180°, а початкові та кінцеві напрямки променя світла були б паралельні, тому фактичний кут φ (фі) між початковими та кінцевими напрямками променями світла дорівнює:

φ = 4r – 2i.

Ми можемо виразити r, залежну від i:

де для будь-якого x значення arcsin x дорівнює куту (зазвичай взятому між −90° і +90°), синус якого дорівнює x. Розрахунки для n = 4/3, подані в розділі 13, демонструють, що φ зростає від нуля за i = 0 до максимального значення приблизно в 42°, а потім падає приблизно до 14° за i = 90°. Графік φ залежно від i горизонтальний у його максимумі, тому світло має тенденцію виходити з краплини під кутом заломлення φ, близьким до 42°.

Рис. 22. Шлях променя сонячного світла у сферичній краплі води. Промінь зображений суцільними лініями зі стрілками: він входить до краплини в точці P, де утворює кут i з перпендикуляром до поверхні; a) шлях променя, якби заломлення не відбувалося, де Q – точка максимального наближення променя до центра краплини C; б) промінь заломлюється на вході до краплини в точці P, відбивається від задньої поверхні краплини в точці P´, а потім заломлюється знову на виході з краплини в Pʺ. Пунктирні лінії з’єднують центр краплини C з точками, де промінь зустрічається з поверхнею краплини.

Якщо поглянути в туманне небо, ставши до Сонця спиною, ми побачимо світло, відбите назад, під кутом між лінією нашої прямої видимості та променями, що йдуть від сонця, що дорівнює приблизно 42°. Ці напрямки утворюють дугу, яку зазвичай ми бачимо