Стівен Вайнберг - Пояснюючи світ

кінців, має містити цілу кількість N половин довжини хвилі, тобто L = Nλ/2. Отже, єдиними можливими довжинами хвилі є λ = 2L/N, де N = 1, 2, 3 і далі, а тому єдиними можливими частотами[70] є такі:

ν = υN/2L.

Найнижча частота (для випадку N = 1) дорівнює υ/2L; усі вищі частоти (для N = 2, N = 3 і далі) називають обертонами. Наприклад, найнижча частота для струни ноти до першої октави будь-якого інструмента дорівнює 261,63 циклу на секунду, але вона також вібрує за 523,26 циклу на секунду, 784,89 циклу на секунду й далі. Інтенсивності різних обертонів визначають звучання різних музичних інструментів.

Тепер уявімо, що вібрують дві струни, що мають різні довжини L1 та L2, але ідентичні в усьому іншому, зокрема мають однакову швидкість хвилі υ. За час t режими вібрації найнижчої частоти першої та другої струн проходитимуть n1 = ν1t = υt/2L1 та n2 = ν2t = υt/2L2 циклів або частин циклів відповідно. Співвідношення становить:

n1/n2 = L2/L1.

Отже, щоб найнижчі вібрації обох струн проходили цілу кількість циклів за однаковий час, значення L2/L1 має дорівнювати відношенню цілих чисел, тобто раціональному числу (у цьому випадку кожен обертон кожної струни також проходитиме ціла кількість циклів за однаковий час). Звук, породжений цими двома струнами, здаватиметься суцільним, так, ніби щипають одну-єдину струну. Це, здається, і робить звук приємним.

Наприклад, якщо L2/L1 = 1/2, тоді коливання найнижчої частоти другої струни проходитиме два повні цикли за кожного повного циклу відповідної вібрації першої струни. У такому разі ми говоримо, що ноти, породжені цими двома струнами, розділяє ціла октава. Усі клавіші до на клавіатурі піаніно породжують частоти, які розділяє ціла октава. Якщо L2/L1 = 2/3, то дві струни утворюють інтервал під назвою квінта. Наприклад, якщо одна струна породжує ноту до першої октави з частотою 261,63 циклу на секунду, тоді інша струна, що має 2/3 її довжини, породжуватиме ноту соль першої октави з частотою 3/2 × 261,63 = 392,45 циклу на секунду[71]. Якщо L2/L1 = 3/4, то такий інтервал називають квартою.

Інша причина приємності цих гармонічних поєднань пов’язана з обертонами. Щоб обертон N1 першої струни мав однакову частоту з обертоном N2 другої струни, має бути збережена рівність υN1/2L1 == υN2/2L2, а отже,

L2/L1 = N2/N1.

Тут співвідношення довжин струн також є раціональним числом, хоч і з іншої причини. Але якщо це співвідношення є ірраціональним числом на кшталт π або квадратного кореня з 2, тоді обертони двох струн ніколи не зможуть збігтися, хоча частоти високих обертонів збігатимуться досить близько. Це явно звучатиме жахливо.

4. Теорема Піфагора

Так звана теорема Піфагора – найвідоміша у планіметрії. Хоч подекуди її авторство приписують комусь із представників школи піфагорійців, зокрема Архітові Тарентському, подробиці її походження достеменно невідомі. Нижче буде описане найпростіше її доведення – те, що застосовує поняття пропорційності, часто використовуване в давньогрецькій математиці.

Рис. 2. Доведення теореми Піфагора. Ця теорема стверджує, що сума площ двох квадратів, сторони яких дорівнюють катетам AP та BP, дорівнює площі квадрата, сторона якого дорівнює гіпотенузі AB. Щоб довести цю теорему, потрібно провести перпендикуляр від P до гіпотенузи АВ, що перетинає її в точці С.

Розгляньмо трикутник із кутовими точками A, B і P та прямим кутом при вершині P. Ця теорема стверджує, що площа квадрата, стороною якого є AB (гіпотенуза трикутника), дорівнює сумі площ квадратів, сторонами яких є інші дві сторони трикутника, AP та BP (катети). Сучасною алгебраїчною мовою, вважаючи AB, AP та BP числовими величинами, що дорівнюють довжинам цих сторін, теорему описують так:

AB2 = AP2 + BP2.

Щоб її довести, потрібно провести перпендикуляр від вершини P до гіпотенузи AB, що перетинає цю гіпотенузу в точці C (див. рис. 2). Ця лінія ділить трикутник ABP на два менші прямокутні трикутники: APC та BPC. Нескладно зрозуміти, що обидва ці менші трикутники подібні до трикутника ABP, тобто всі їхні відповідні кути рівні. Якщо ми позначимо кути при вершинах А та B як α (альфа) та β (бета), тоді трикутник ABP має кути α, β та 90°, тому α + β + 90° = 180°. Трикутник APC має два кути, що дорівнюють α та 90°, тому його третій кут має дорівнювати β, щоб сума кутів становила 180°. Так само два кути трикутника BPC дорівнюють β та 90°, тому його третій кут має дорівнювати α.

Оскільки всі ці трикутники подібні між собою, їхні відповідні сторони пропорційні. Тобто AC відноситься до гіпотенузи AP трикутника ACP, як AP відноситься до гіпотенузи AB первинного трикутника ABP, а ВС відноситься до BP, як BP до AB. Ми можемо викласти це алгебраїчно у формі пропорцій:

Звідси випливає, що AP2 = AC × AB, а BP2 = ВС × AB. Додавання цих двох рівнянь дає

AP2 + BP2 = (AC + ВС) × AB.

Але AC + ВС = AB, що й треба було довести.

5. Ірраціональні числа

Давньогрецькі математики знали лише раціональні числа. Це числа, що є або цілими, як-от 1, 2, 3 і далі, або співвідношеннями цілих (1/2, 2/3 тощо). Якщо співвідношення довжин двох відрізків є раціональним числом, то такі відрізки вважали «порівнянними». Наприклад, якщо співвідношення становить 3/5, це означало, що один відрізок, узятий п’ять разів, має таку саму довжину, як другий, узятий три рази. Тому давньогрецькі математики були, напевно, шоковані, усвідомивши, що не всі лінії сумірні. Зокрема, у прямокутному рівнобедреному трикутнику гіпотенуза несумірна з жодною із двох рівних сторін. Говорячи сучасною мовою, оскільки, згідно з теоремою Піфагора, квадрат гіпотенузи такого трикутника дорівнює подвоєному квадрату довжини будь-якої з двох рівних сторін, то довжина гіпотенузи дорівнює довжині будь-якої з інших сторін, помноженій на квадратний корінь із 2. Тож квадратний корінь із 2 не є раціональним числом. Доведення цього Евклід подає у Книзі X «Начал». Він спирається на припущення протилежного – що є якесь раціональне число, квадратом якого є 2, – а потім доводить абсурдність цього.

Припустімо, що якесь раціональне число p/q (де p та q – цілі числа) має квадрат, що дорівнює 2:

(p/q)2 = 2.

Тоді існуватиме нескінченна кількість таких пар чисел, отримуваних множенням будь-яких заданих p та q на будь-які рівні цілі