Стівен Вайнберг - Пояснюючи світ

відповів, що така орбіта була б еліптична, і пообіцяв надіслати доказ. Пізніше того року Ньютон подав документ на десять сторінок «Про рух тіл орбітою», де описав загальний рух тіл під впливом сили, спрямованої до якогось центрального тіла.

Три роки по тому Королівське товариство опублікувало Philosophiae Naturalis Principia Mathematica («Математичні начала натуральної філософії») Ньютона – безумовно, найвидатнішу книжку в історії фізичної науки.

Гортаючи ці «Начала», якийсь сучасний фізик може бути здивований тим, як мало вони нагадують будь-яку з нинішніх фізичних наукових праць. Там багато геометричних діаграм, але мало рівнянь. Іноді здається, що Ньютон забув власну роботу з математичного аналізу. Але не зовсім – у багатьох його діаграмах можна побачити елементи, що мали б бути нескінченно малими величинами або нескінченними рядами. Наприклад, показуючи, що правило рівних площ Кеплера справедливе для будь-якої сили, спрямованої до якогось фіксованого центра, Ньютон уявляє, що планета отримує нескінченно багато імпульсів, що спрямовує її до цього центра, причому кожен із цих імпульсів відокремлений від наступного нескінченно малим проміжком часу. Загальні формули математичного аналізу роблять такий розрахунок не лише достовірним, а й швидким та легким, але ніде в «Математичних началах» цих загальних формул немає. Ньютонівська математика в «Математичних началах» не надто відрізняється від тієї, яку використовував, обчислюючи площу круга, Архімед або Кеплер, розраховуючи об’єми винних бочок.

Стиль «Математичних начал» нагадує «Начала» Евкліда. Починаються вони з визначень8:

Визначення I

«Кількість матерії є мірою матерії, що виникає спільно з її густини та об’єму».

Те, що в перекладі стає «кількістю матерії» у Ньютона, латиною мало назву massa, і сьогодні його називають також «масою». Ньютон тут визначає її як добуток густини та об’єму. Навіть попри те, що Ньютон не дає визначення густини, його визначення маси все одно корисне, бо читачі могли визнати як належне те, що тіла, утворені з однакових субстанцій, як-от заліза за заданої температури, матимуть однакову густину. Як показав ще Архімед, розрахунок питомої ваги дає значення густини будь-якої речовини відносно густини води. Ньютон зазначає, що ми виводимо масу тіла з його ваги, але не змішує поняття маси й ваги.

Визначення II

«Кількість руху є мірою руху, що виникає спільно зі швидкості та кількості матерії».

Те, що Ньютон називає «кількістю руху», сьогодні має назву імпульс. Ньютон визначає його як добуток швидкості та маси.

Визначення III

«Вроджена сила матерії [vis insita] є силою опору, завдяки якій кожне тіло, наскільки [воно] здатне, утримується у своєму стані або спокою, або рівномірного прямолінійного руху».

Далі Ньютон пояснює, що ця сила залежить від маси тіла і що вона «не відрізняється жодним чином від інерції маси». Сьогодні ми іноді характеризуємо масу як величину, що опирається змінам руху, називаючи її «інерційною масою».

Визначення IV

«Прикладена сила є дією, здійсненою щодо тіла, щоб змінити або стан його спокою, або стан його рівномірного прямолінійного руху».

Це визначає загальне поняття сили, але все ще не дає жодного числового значення, яке ми мали б надати цій силі. Визначення з V по VIII стосуються доцентрового прискорення та його властивостей.

Після визначень іде загальне пояснення автора, у якому Ньютон відмовляється визначати простір і час, але все-таки дає деякий опис:

I. Абсолютний, реальний та математичний час сам собою та своєю природою, безвідносно до чогось зовнішнього, тече рівномірно…

II. Абсолютний простір своєю природою, безвідносно до чогось зовнішнього, завжди залишається однорідним та нерухомим.

Лейбніц та єпископ Джордж Берклі розкритикували такий погляд на час та простір, стверджуючи, що якесь значення мають лише відносні положення у просторі й часі. У своїй примітці Ньютон визнавав, що зазвичай ми маємо справу лише з відносними положеннями та швидкостями, але тепер він має нову концепцію абсолютного простору: у ньютонівській механіці абсолютне значення (на відміну від положення або швидкості) має прискорення. Як могло бути інакше? Простий досвід говорить нам про те, що прискорення має ефекти – не потрібно навіть питати: «Прискорення відносно чого?» Відчуваючи силу, що втискає нас у сидіння, ми, навіть не дивлячись у вікно, розуміємо, що прискорюємося, коли їдемо в машині, яка різко збільшує швидкість. Як ми побачимо нижче, у XX столітті погляди на простір і час Лейбніца та Ньютона примирила загальна теорія відносності.

Потім, нарешті, ідуть відомі три закони руху Ньютона:

Закон I

«Будь-яке тіло продовжує перебувати у стані спокою або рівномірного прямолінійного руху, за винятком випадків, коли прикладені сили змушують його змінити цей стан».

Це було відомо ще Ґассенді та Гюйґенсу. Не зрозуміло лише, чому Ньютон переймався тим, щоб винести це в окремий закон, бо цей перший закон є тривіальним (хоч і важливим) наслідком другого.

Закон II

«Зміна руху пропорційна прикладеній рушійній силі й іде вздовж прямої лінії, по якій прикладають цю силу».

«Зміну руху» Ньютон розуміє тут як те, що він називав «кількістю руху» у визначенні II. Насправді пропорційною силі є швидкість зміни імпульсу. Зазвичай ми визначаємо одиниці, у яких вимірюють силу, так, що швидкість зміни інерції фактично дорівнює силі. Оскільки імпульс – це маса, помножена на швидкість, швидкість його зміни – це маса, помножена на прискорення. Отже, другий закон Ньютона стверджує, що маса, помножена на прискорення, дорівнює силі, що породжує прискорення. Однак знамените рівняння F = ma в «Математичних началах» ще не з’являється – у такому вигляді другий закон виразили заново математики з континентальної Європи у XVIII столітті.

Закон III

Будь-якій дії завжди відповідає протилежна й рівна протидія; інакше кажучи, дії двох тіл одного на одне завжди рівні й завжди протилежні за напрямком.

У по-справжньому геометричному стилі Ньютон демонструє далі низку наслідків, виведених із цих законів. Особливо помітним серед них був наслідок III, яким сформульовано закон збереження імпульсу (див. технічну примітку 34).

Завершивши свої визначення, закони та наслідки, Ньютон у Книзі I робить висновки з них. Він доводить, що центральні сили (сили, спрямовані до однієї-єдиної центральної точки), і лише вони, надають тілу руху, що покриває рівні площі за рівний час; що центральні сили, обернено пропорційні квадрату відстані, і лише вони, породжують рух по конічному перерізу, тобто по колу, еліпсу, параболі або гіперболі; і що у випадку руху по еліпсу така сила дає періоди, пропорційні 3⁄2 довжини головної осі цього еліпса (якою, як ми згадували в розділі 11, є відстань планети від Сонця, усереднена по всій довжині її шляху). Отже, центральна сила, обернено пропорційна квадрату відстані, може пояснити всі закони Кеплера. Ньютон також заповнює прогалину у своєму порівнянні доцентрового прискорення