Стівен Вайнберг - Пояснюючи світ

синусом θmax та спостережуваними співвідношеннями rп/rз радіусів орбіт внутрішніх планет і Землі є наслідком відхилення форм цих орбіт від ідеальних кіл із Сонцем у центрі, а також того факту, що ці орбіти розташовані не точно в одній площині.

20. Добовий паралакс

Розгляньмо «нову зірку» чи якийсь інший об’єкт, що або перебуває у стані спокою відносно нерухомих зірок, або зміщується дуже мало відносно цих зірок упродовж дня. Припустімо, що цей об’єкт перебуває значно ближче до Землі, ніж зірки. Можна припустити, що Земля робить один оберт на добу навколо своєї осі зі сходу на захід або що цей об’єкт та зірки обертаються навколо Землі протягом дня із заходу на схід, – у будь-якому разі, оскільки ми бачимо цей об’єкт у різних напрямках в різний час ночі, його положення, схоже, зміщуватиметься відносно зірок щовечора. Це називають добовим паралаксом об’єкта. Вимірювання добового паралакса дає змогу визначити відстань до об’єкта або, якщо виявиться, що цей добовий паралакс замалий для вимірювання, воно дає хоча б нижню межу цієї відстані.

Щоб обчислити величину такого кутового зміщення, розгляньмо видиме положення об’єкта щодо зірок, яке спостерігають з нерухомої обсерваторії на Землі в момент, коли цей об’єкт тільки-но сходить над горизонтом, а також коли він розташований найвище в небі. Щоб полегшити ці обчислення, розгляньмо випадок, найпростіший у геометричному плані: обсерваторія розташована на екваторі, а об’єкт – у тій самій площині, що й екватор. Звісно, це не дає нам точного добового паралакса нової зірки, як і у спостереженні Тіхо Браге, але вказує на порядок величини цього паралакса.

Пряма, на якій лежить відрізок від цієї обсерваторії до об’єкта, коли той тільки-но сходить над горизонтом, дотична до земної поверхні, тому кут між цією прямою та відрізком від обсерваторії до центра Землі прямий. Отже, ці два відрізки разом із відрізком від об’єкта до центра Землі утворюють прямокутний трикутник (див. рис. 14). Синус кута θ (тета) цього трикутника дорівнює відношенню протилежної сторони (радіуса Землі rз) до гіпотенузи (відстані об’єкта від центра Землі d). Як видно з рис. 14, цей кут є також видимим зсувом положення об’єкта щодо зірок упродовж часу між моментом його сходження над горизонтом і моментом, коли він розташований найвище в небі. Загальне зміщення положення об’єкта від моменту, коли він сходить над горизонтом, до моменту, коли він сідає за горизонт, дорівнює 2θ.

Рис. 14. Використання добового паралакса для вимірювання відстані d від Землі до якогось об’єкта. Тут зображено погляд з якоїсь точки, віддаленої від Північного полюса Землі. Для простоти припускають, що спостерігач перебуває на екваторі, а об’єкт – у тій самій площині, що й екватор. Дві прямі, розділені кутом θ, – напрямки до об’єкта в момент, коли той тільки-но сходить над горизонтом, і шість годин потому, коли об’єкт розташований прямо над спостерігачем.

Наприклад, якщо ми уявимо об’єкт, розташований на відстані Місяця від нас, то d = 400 000 км, тоді як rз = 6400 км, тому sinθ = 6,4/400, а отже, θ = 0,9°, а добовий паралакс дорівнює 1,8°. З якоїсь іншої точки на Землі, як-от острова Вен, спостереження об’єкта з типовим розташуванням у небі на кшталт «нової зірки» 1572 року дає менший добовий паралакс, але все ще такого самого порядку величини – близько 1°. Таке зміщення більш ніж достатнє, щоб майстерний астроном, як-от Тіхо Браге, міг виявити його неозброєним оком. Але Тіхо не міг виявити будь-який добовий паралакс «нової зірки» 1572 року, тому дійшов висновку, що вона розташована далі за Місяцем. Натомість не було жодної складності у вимірюванні добового паралакса самого Місяця, а отже, у розрахунку відстані Місяця від Землі.

21. Правило рівних площ та еквант

Згідно з першим законом Кеплера, усі планети, включно із Землею, обертаються навколо Сонця по еліптичних орбітах, але Сонце розташоване не в центрі еліпса, а у зміщеній від центра точці на головній осі – одному із двох фокусів еліпса (див. технічну примітку 18). Ексцентриситет еліпса e визначають так, щоб відстань кожного фокуса від центра еліпса дорівнювала ea, де а – половина довжини головної осі еліпса. Крім того, згідно із другим законом Кеплера, швидкість руху кожної планети по її орбіті не постійна, а змінюється так, що відрізок від Сонця до цієї планети покриває рівні за площею ділянки за рівні проміжки часу.

Є й інший наближений спосіб сформулювати цей другий закон, тісно пов’язаний із давньою ідеєю екванта, використовуваною у Птолемеєвій астрономії. Замість того щоб розглядати відрізок від Сонця до планети, розгляньмо відрізок до планети від іншого, порожнього фокуса еліпса. Ексцентриситет e деяких планетних орбіт не є мізерно малим, але e2 дуже мале для всіх планет (найбільший ексцентриситет має орбіта Меркурія, для якої e = 0,206, а e2 = 0,042; для Землі e2 = 0,00028.) Тому під час обчислення рухів планет буде хорошим наближенням брати до уваги лише члени рівняння, незалежні від ексцентриситету e або пропорційні e, нехтуючи всіма членами, пропорційними e2 або вищим степеням e. За такого наближення другий закон Кеплера еквівалентний твердженню, що відрізок від порожнього фокуса до планети покриває рівні кути за рівні проміжки часу. Тобто відрізок між порожнім фокусом еліпса та планетою обертається навколо цього фокуса з постійною швидкістю.

Зокрема, нижче ми побачимо, що якщо А. – швидкість, з якою відрізок від Сонця до планети покриває рівні площі, а φ. (фі з крапкою) – швидкість зміни кута ϕ між великою віссю еліпса та відрізком від порожнього фокуса до планети, тоді

(1)

де O(e2) позначає члени, пропорційні e2 або вищим ступеням e, а R – число, значення якого залежить від одиниць, які ми використовуємо, щоб вимірювати кути. Якщо ми вимірюємо кути у градусах, тоді R = 360°/2π = 57,293…° (кут, що дорівнює 1 радіану). Або ми можемо вимірювати кути в радіанах, і тоді R = 1. Згідно з другим законом Кеплера, відрізок від Сонця до планети за рівні проміжки часу покриває рівні площі. Це означає, що А. є величиною сталою, тому φ. є сталою з точністю до членів, пропорційних e2. Тому досить точно можна говорити, що за заданий часовий проміжок кут, на який зміщується відрізок, що з’єднує порожній фокус еліптичної орбіти планети із Сонцем, також завжди однаковий.

Якщо говорити про теорію, яку описав Птолемей, то центр