Джон Грін - Досить Катрін

вісь X десь у серпні, коли я розірвав з нею, вона викинула мене зі своєї квартири, і я опинився опівночі на вулиці в Берклі, безпритульний і без грошей.

Другий інгредієнт Колінової еврики — це той факт, що графіки (а відповідно, й графіки романтичних стосунків) можна представити функціями. Тут варто дещо пояснити. Розберімося разом.

Насамперед треба сказати, що коли ми малюємо графік на кшталт оцього,

то кожну точку можна задати числами. Для цього на горизонтальній осі (осі X) позначені маленькі цифрочки, і на вертикальній (осі Y) також. Отож для того, щоб позначити точку десь на площині, досить вказати два числа: одне говорить, де саме вона розташована вздовж осі X, а друге — уздовж осі Y. Наприклад, точка (2;1) повинна відповідати позначці «2» на осі X і позначці «1» на осі Y. Або можна сказати, що вона розташована на дві поділки вправо і на одну вгору від точки перетину осей X та Y, яка називається (0;0). Відповідно, точка (0;-2) розташована на осі Y на дві одиниці нижче від перетину, а точка (-3;2) міститься на три одиниці вліво і на дві одиниці вгору від місця перетину.

Отже, функції. Функція — це щось на кшталт механізму перетворення одного числа в інше. Це інструкція до дуже простої гри: я даю вам будь-яке число, а ви завжди повертаєте мені інше. Наприклад, функція може приписувати: «Візьми число і помнож його саме на себе (тобто піднеси його до квадрата)». У цьому разі наше спілкування може відбуватися десь так:

Я: 1.

Ви: 1.

Я: 2.

Ви: 4.

Я: 3.

Ви: 9.

Я: 9252459984.

Ви: 85608015755521280256.

Багато функцій можна записати за допомогою алгебричних рівнянь. Наприклад, функцію, про яку йшлося вище, можна записати так:

f(x) = x2,

що означає, що коли я даю вам число х, функція приписує вам взяти його і помножити на себе (тобто вирахувати х2) і повернути число мені. Користуючись функцією, ми можемо вирахувати всі точки фігури (х; f(x)). Усі ці точки разом утворять таку собі криву на площині, яку ми називаємо «графік функції». Розгляньмо функцію f(x) = x2. Ми можемо поставити точки (1;1), (2;4) та (3;9).

У цьому випадку корисно буде розставити додаткові точки (0;0), (-1;1), (-2;4) та (-3;9). (Пам’ятаймо, що від’ємне число, помножене на себе, дає додатний результат.)

Тепер ви, ймовірно, здогадуєтеся, що графік становитиме собою криву десь отакого вигляду:

Ви помітите, що, на жаль, цей графік не дуже підходить для того, щоб зображувати стосунки. Усі графіки, які Колін хоче використовувати для своєї Теореми, повинні двічі перетинати вісь X (один раз, коли пара починає зустрічатися, і вдруге — коли відбувається розрив), а наш графік торкається її тільки раз. Та це можна легко виправити, скориставшись трохи складнішою функцією. Візьмімо, наприклад, функцію f(x) = 1 — х2.

Цей графік добре знайомий Колінові — він зображає короткочасні стосунки, коли дівчина кидає його (ми знаємо, що дівчина кидає Коліна, бо між першим поцілунком і розривом крива розташована над віссю X). Цей графік дає нам загальне уявлення про історію життя Коліна. Тепер нам треба зрозуміти, як змінити його, щоб з'ясувати деталі.

Однією з головних тенденцій математики у двадцятому сторіччі було прагнення вивчати все в «сім’ях». (Коли математик вживає слово «сім’я», він розуміє будь-яке зібрання схожих або пов'язаних об’єктів. Наприклад, стіл і стілець обидва належать до «меблевої сім’ї».)

Ідея ось у чому: що таке лінія? Це тільки зібрання («сім’я») точок; а площина — лише сім’я ліній, і так далі. Це має переконати вас, що коли один об’єкт (як точка) цікавий, то ще цікавіше буде вивчити цілу сім’ю подібних об’єктів (як лінія). Такий погляд цілковито опанував математичні дослідження протягом останніх шістдесяти років.

Це приводить нас до третьої частини Колінового еврика-пазла. Кожна Катріна інакша, отож кожен розрив з новою Катріною відрізняється від попередніх. Це означає, що хоч як ретельно Колін працює над однією функцією, одним графіком, він зображатиме тільки одну Катріну. Що насправді потрібно Коліну — це дослідити всіх можливих Катрін і їхні функції, всіх одразу. Іншими словами, йому треба дослідити сімейство функцій всіх Катрін.

І Колін правильно здогадався, що стосунки можна представити графіком, що графік визначається функцією, і що цілком можливо дослідити всі ці функції одразу за допомогою однієї (дуже складної) формули, так, що це допоможе йому передбачати, коли будь-яка майбутня Катріна покине його (і, що важливіше, чи вона його справді покине).[85]

Наведімо приклад того, що це може означати; насправді візьмемо першу спробу Коліна. Формула має такий вигляд:

f(x) = D3х2 — D

Пояснюючи це рівняння, мені, напевно, доведеться відповісти на багато запитань, найперше з яких: дідько, що таке оце D? Це коефіцієнт «кидальності», який розраховується так: кожна людина має свій рахунок Кидальник/Покинутий (К/П), кожному можна поставити оцінку від 0 до 5 залежно від його позиції на шкалі розбитих сердець. Тепер, якщо ви намагаєтесь передбачити, як розвиватимуться стосунки між хлопцем і дівчиною, почніть з рахунку К/П хлопця і відніміть від нього рахунок К/П дівчини. Отже, якщо у хлопця рахунок 2, а в дівчини 4, то D дорівнюватиме -2.

Тепер погляньмо, як це позначиться на графіку. У прикладі, який я щойно навів, D = -2, отже, маємо

f(x) = -8х2 + 2,

а відповідний графік має такий вигляд:

Як можна бачити, стосунки тривали не надто довго, і дівчина зрештою покинула хлопця (така знайома Колінові ситуація).

Якщо ж, навпаки, у хлопця 5, а в дівчини 1, тоді D = 4, то

f(x) = 64х2 — 4

що дає отакий графік:

Ці стосунки навіть іще коротші, але, видається, навіть іще палкіші