Стівен Сілбігер - МВА за 10 днів

в 1 % та стандартне відхилення в 11 %. Джеральд Расмуссен хоче знати, яка ймовірність того, що прибутки наступного місяця становитимуть менше 13 %.

Ми можемо дізнатися це за допомогою нашого нового значення Z:

Z = (13—1) / 1,09 (СКВ відносно середнього)

Таблиця нормального розподілу, яку я подаю в додатку, стверджує, що 1,09 СКВ = 0,3621. Уся ліва сторона графіка дорівнює 0,5000, як і будь-яка повна половина розподілу. Це підходить для всіх ситуацій. Є 50-відсоткова ймовірність потрапляння в точку вище або нижче від центра або середнього при будь-якому нормальному розподілі. Склавши всі ці уривки інформації, я вирахував: ймовірність, що прибутки не перевищуватимуть 13 % становить 0,8621 (0,3621 + 0,50) і, навпаки, ймовірність, що вони будуть вищими, становить 0,1379 (1 — 0,8621). Це реальна відповідь на реальну бізнес-проблему з використанням статистики як інструмента.

Статистика не важка, якщо не заглиблюватися в теорію. Є й інші види розподілу, та їх рідко застосовують у бізнесі. Розподіл Пуассона аналогічний нормальному розподілу, але має хвіст у правій частині графіка. Однак більшість видів розподілу вважають нормальними, бо це дає змогу застосовувати до них переваги законів нормального розподілу щодо стандартних відхилень.

Кумулятивні функції розподілу

Кумулятивна функція розподілу — це накопичувальне відображення розподілу ймовірностей. Вона бере функцію ймовірнісної міри, таку, як дзвоноподібна крива, і запитує: «А яка ймовірність того, що результат буде меншим або рівним цьому значенню?»

Крива нормального розподілу каже вам, яка ймовірність конкретного результату, тоді як кумулятивна функція розподілу показує ймовірність конкретного діапазону значень. Кумулятивну функцію розподілу також можна використовувати, щоб поєднати розуміння невизначеності (теорію ймовірності) з інструментом для прийняття рішень (деревом рішень). Кумулятивна функція розподілу охоплює діапазон ймовірних результатів багатозначних невизначених величин.

Продовжуємо розглядати наш приклад з нафтовою свердловиною і погляньмо на розподіл можливих значень нафти, що можуть бути в землі, якщо її таки знайдуть:

У дереві, яке ми малювали раніше, ми брали суму заробітку в 1 000 000 $. Ця сума була очікуваною грошовою віддачею (ОГВ) нафти, бо мені було зручно взяти її за приклад. Насправді ж розподіл охоплював широкий діапазон значень. Була ймовірність у 0,005, що прибуток становитиме 6 000 000 $, і така сама ймовірність суми в 50 000 $, як це показує таблиця значень. Якщо ви помножите кожну суму на її ймовірність, відображену в другій колонці, то отримаєте очікувану грошову віддачу в 1 000 000 $, тобто ту саму суму, яку ми використовували до цього.

Побудувавши функцію кумулятивного розподілу, людина, яка приймає рішення, визначає середнє, тобто очікувану грошову віддачу, і з цього може розпочати аналіз. Побудова кумулятивного розподілу дає змогу об’єднати оцінки ймовірності верхньої межі, середини і нижньої межі діапазону невідомих результатів і визначити очікувану грошову віддачу, що допоможе прийняти рішення.

Графік кумулятивної функції розподілу для діапазону результатів нагадує велику літеру S. На ньому ви одразу бачите усі можливі результати, а не лише статичні окремі точки. Як показує графік далі, Сем Х’юстон вважає, що всі можливі результати входять до безперервного «діапазону» від 0 $ до 6 000 000 $.

Діапазон ймовірностей від 0 до 1,0 у графіку кумулятивної функції ділиться на секції — фрактали — за допомогою медіани інтервального ряду. Поданий нижче графік кумулятивної функції розподілу поділений саме так. Наприклад, аби поділити діапазон ймовірності кумулятивної функції розподілу на п’ять фракталів, можна взяти фрактали 0,1; 0,3; 0,5; 0,7 та 0,9. Кожен із них представлятиме середнє арифметичне «діапазону значень», від 0 до 0,2; від 0,2 до 0,4; від 0,4 до 0,6; від 0,6 до 0,8; та від 0,8 до 1,0 відповідно.

Фрактал 0,5 рівнозначний медіані, адже по обидва боки від нього розташовано по половині можливих значень. Медіана не обов’язково збігається із середнім, тобто центр кривої нормального розподілу. Медіана — це лишень центр діапазону значень. Середнє — це добуток від множення усіх ймовірностей і відповідних значень: власне так ми отримали очікувану грошову віддачу в 1 000 000 $ у разі виявлення нафти.

Щоби поєднати поняття кумулятивної функції розподілу із деревом рішень і прийняти важливі управлінські рішення, уявіть, як можна відобразити усі значення ймовірних результатів використання нафтової свердловини. Це був би діапазон значень, представлений віялом можливостей. Намалювати нескінченну кількість можливостей у вигляді гілок дерева неможливо, тому ми використовуємо графік кумулятивної функції розподілу.

Як накреслити кумулятивну функцію розподілу. Щоб намалювати кумулятивну функцію розподілу у такому вигляді, як зображено нижче, потрібно покладатись як на власні міркування, так і на результати досліджень. Слід поставити собі низку запитань:

• при якому значенні в 50 % випадків результат є вищим або нижчим від заданого значення (медіана)?

• якими будуть значення на нижній межі (фрактал 0,10)?

• якими будуть значення на верхній межі (фрактал 0,90)?

Відповівши на ці запитання, ви можете накреслити кумулятивну функцію розподілу ймовірного діапазону результатів. Обравши п’ять результатів за допомогою п’яти фракталів із кумулятивної функції розподілу, ви можете накреслити віяло наслідків із п’яти можливостей і ймовірностей у вигляді п’яти гілок на дереві рішень.

Очікувана грошова віддача така сама, як при нашому першому розгляді цієї ситуації, та це лише тому, що мені на початку було зручно використати правильне значення ОГВ.

Спрощеним варіантом використання п’яти фракталів є метод Пірсона-Тьюкі. Замість п’яти фракталів, у цьому методі використовують лише три — фрактали 0,05; 0,5 та 0,95. Їм відповідають такі ймовірності — 0,185; 0,63 та 0,185.

Для вирішення більших проблем дерево рішень було комп’ютеризовано за допомогою програм симуляції (метод Монте-Карло), серед яких найпопулярніша — Oracle Crystal Ball. У комп’ютерну модель вводять дерево та параметри «віяла наслідків» кумулятивної функції розподілу. Програма здійснює чимало симуляцій і пропонує вам варіанти вирішення ситуації. Деякі компанії з рейтингу Fortune 500 користуються цим методом. Спеціалісти з фінансового планування використовують його для оцінювання довгострокових прибутків від інвестиційного портфеля.

Кумулятивну функцію розподілу та аналіз фракталів можна застосовувати в ситуаціях, де очікувана грошова віддача якоїсь гілки дерева рішень є непевною. Однак найважливішим є здоровий глузд аналітика. Дерево — це просто інструмент, який МВА має використовувати спільно зі своїми знаннями та інтуїцією.

РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ І ПРОГНОЗУВАННЯ

У багатьох бізнес-ситуаціях, аби встановити залежність між змінними, які, за інтуїтивним відчуттям аналітиків, мають бути пов’язаними, використовують моделі лінійної регресії. Після того як залежність встановлена, лінійну регресію можна використовувати для прогнозування майбутнього. Переважно регресійний аналіз використовують, щоби пов’язати продажі з такими чинниками, як ціна, реклама та ринок; курс акцій — з прибутками та відсотковими ставками; а виробничі витрати — з обсягом виробництва. Та, звісно, його можна використовувати й для пошуку відповідей на запитання такого плану: «Як впливає температура на продаж морозива в ріжку?» Незалежною змінною (Х) в цьому сценарії є температура. Вважають, що саме ця змінна впливає на інші події. Залежною змінною (Y) є обсяг продажів. Температура впливає на продажі, а не навпаки.

Регресійний аналіз передбачає збір достатньої кількості даних для встановлення залежності між змінними. Коли даних є багато, наприклад у випадку з інформацією про зміни температури та обсягів продажу протягом року, можна намалювати графік, де температуру відображатиме вісь абсцис, а обсяг продажів — вісь ординат. Завдання регресії — створити рівняння прямої, яка «найкращим чином» відображатиме цю залежність. Регресія намагається «припасувати» пряму між точками даних, нанесеними на графік, щоб «значення суми квадратів відхилень точок